Philo: Extraits/Citations

MICHEL SERRES

« La querelle des anciens et des modernes en mathématiques et en épistémologie » (Texte paru dans le n° 198 de la revue « Critique », à propos du livre d’Edouard le Roy « La pensée mathématique pure » P.U.F. 1960)

« Nous étions résignés à l’idée difficile qu’évoluent les rigueurs. Il nous faut maintenant accepter que nos réflexions sur elles le fassent aussi. Comme la mathématique, l’épistémologie a une histoire. Et c’est le dessin de la phase pré-contemporaine de cette histoire que tracent – volentes nolentes – les conférences qu’Edouard le Roy prononça au Collège de France, dans les deux premières décades du siècle. Mettre en évidence la pureté d’une pensée éminemment stable est leur projet, exprimer les hésitations d’un devenir est leur résultat – pour nous.

De fait, à l’heure même où parle ce penseur, les mathématiques n’ont pas fini d’être secouées par la fameuse crise, elles se composent trait à trait le visage qui nous est, depuis naguère, familier. Ces lentes et puissantes nouveautés ne sont point acquises par une accumulation linéaire de découvertes et de petits progrès partiels, mais, comme souvent, selon un réajustement global du système, des conditions initiales aux réalisations les plus fines. Dans les temps où ce profil nouveau émerge du fondu des anciennes perspectives, Le Roy médite en philosophe, et en technicien de haute compétence, sur une mathématique: pas tout à fait celle de son temps ou des chercheurs de son temps, celle plutôt qui le précède d’un moment, et à qui la conservation universitaire et les nécessités pédagogiques donnaient cette allure de pérennité, grâce à quoi il était possible de la considérer comme la mathématique.

Ce livre est donc déjà celui d’un décalage; qu’il soit publié de nos jours en désigne vaguement un second, plus subtil peut-être et plus dramatique. Le premier échappe de droit à la critique: après tout, chacun a la liberté de décrire la discipline qu’il veut, en l’état synchronique de son choix, selon la philosophie de sa préférence. Et ce droit subsiste, même si, en cours d’analyse, sonne l’heure où l’histoire rebrousse son cours. A toute autre aune, combien d’épistémologies résisteraient? Et cette déhiscence est encore familière à une génération qui s’est fait des mathématiques l’idée qu’en désignaient des études spécialisées qui ne sont désuètes que depuis peu et qui s’est vu soudain plongée au milieu des « modernes », mise en présence d’un édifice voilé par la tradition. Or, cette ancienne idée, c’est précisément celle de Le Roy, dont le livre représente la conscience, inquiète devant les grands patronymes de la nouvelle. D’où la sensation de confort qu’on éprouve à le lire: on y retrouve ses classes et une jeunesse perdue, une jeunesse qu’à un moment il a fallu savoir perdre. Décalage sans gravité qui procure de l’agrément. Mais sans gravité au regard seulement de l’histoire des sciences, et pour autant que l’épistémologie n’est rien autre que description. Mais on s’inquiète dès que la méthodologie remplace l’histoire, dès que la description laisse le tour au jugement normatif. De là, quelques périlleuses aventures. C’est ainsi qu’une conscience « moderne » perçoit, par exemple, les condamnations abruptes prononcées contre la logique, dans l’ombre de Brunswicg. C’était l’époque où la tradition philosophique française tournait le dos aux découvertes « logistiques », en désignant (ou mésinterprétant) les affirmation de Poincaré; moment étrange où la « logique » au sens des manuels se moquait de la logique au sens de Russel. Que les rieurs aient depuis changé de camp, la chose est faite pour une ou deux générations de mathématiciens mais point encore pour la majorité des philosophes qui assument toujours le même décalage, étiré jusqu’à l’absurde, et qui croient, dans ces classes où la révolution mathématique a enfin pénétré, enseigner toujours la « logique ».

A considérer l’histoire, ou la description, ce livre représente donc un moment, à considérer la norme, ce moment et ce décalage impliquent des erreurs significatives; à considérer l’organon philosophique qui sert d’appui aux descriptions et aux jugements, l’auteur se réfère constamment à un certain post-kantisme, tempéré parfois par un bergsonisme diffus, quel que soit ce tempérament. Toutes choses suffisantes pour que nous définissions cette oeuvre comme référence exemplaire, comme type achevé d’une épistémologie, qu’il faut désormais appeler classique, de ces mathématiques mathématiques que les spécialistes nomment Classiques. Mais précisément, comme la science que Le Roy analyse est, à bien des égards, sur le point de virer au moderne, ce livre, dont nous avons dit qu’il donnait de l’agrément, procure aussi bien du malaise. Tout se passe comme si un ensemble philosophique stable dans ses fondements propres et ses traditions historiques s’évertuait à saisir un objet en devenir qu’il analysait naguère convenablement, mais qu’il ne sait, peu à peu, plus reconnaître. On se prend alors à demander s’il est possible de prolonger cette épistémologie classique pour rendre compte de la mathématique moderne, aujourd’hui parvenue à maturité: prolonger, c’est à dire conserver une fonction en lui donnant un nouvel objet. Pourrait d’abord nous instruire la comparaison des deux états de cet objet, mathématiques classique et mathématique moderne; ce parallèle entre le visage désuet et la nouvelle figure est désormais trivial, mais demeure intéressant; mais moins sans doute qu’un raisonnement à quatre termes. Le voici: soit, d’une part, la mathématique moderne et son épistémologie possible qui reste à définir. La compraison qui précède ne constitue alors qu’un premier temps. Mais pour répondre en rigueur à la question de prolongement, il convient de mettre en parallèle deux à deux ces quatre termes, et, en particulier, la première épistémologie et la deuxième mathématique. On obtient alors, nous le verrons, un résultat assez considérable: que ce prolongement existe bien, mais qu’il n’est autre qu’une importation pure et simple de tout projet de l’épistémologie classique dans la mathématique moderne, prise en général (sous certaines conditions qu’il est facile de poser). Cette dernière apparaît alors comme une science qui contient dans son champ autochtone sa propre méthodologie, sa propre « auto-description », sa propre « logique », le tout à l’état positif. Cette auto-régulation intérieure d’un ensemble rigoureux est sans doute la caractéristique la plus spéctaculaire du nouvel esprit scientifique. Tout le problème, dès lors, – et toute l’inquiétude – consiste à se demander, en présence de cette importation, acomplie et peut-être définitive, si le quatrième terme de notre raisonnement est, en lui-même pensable: la promotion d’une épistémologie moderne des mathématiques modernes est une question de possibilité et d’existence, plus que de contenu, dans la mesure où en la pense dans le cadre d’un raisonnement où elle est homogène à l’épistémologie classique. C’est cette homogénéité que notre temps doit s’employer à briser. Alors le vide actuel de notre « logique » (philosophique) traditionnelle serait d’essence autant que d’histoire. Il est difficile de cacher la gravité de cette croix.

( … ) Dès lors, il ne s’agit en aucune manière de prononcer condamnation: les sciences se chargent de faire irréductiblement vieillir les épistémologies; comme si, par quelque ruse de la raison, nos réflexions sur le plus rigoureux étaient les plus rapides à se détériorer; si bien qu’en condamnant nous entrerions sur la voie même qui rend possible l’erreur. Mais de mettre en place ce noeud complexe et prolongé, ces doubles fils évolutifs de la pensée rigoureuse et de sa conscience réflexive, le long desquels les certitudes se transposent et vont vers leur vérité, par cette récurrence qu’observait Bachelard ( qui savait profondément ce qu’était pour la physique le drame du changement de langage), et entre lesquelles naissent et se nouent diverses relations transversales de décalage, d’erreur, d’importation réciproques. Il faut donc pour l’instant raisonner à quatre termes, c’est à dire deux fois deux, chaque série se développant sur la ligne diachronique.

( … ) (L’histoire va si vite que le philosophe reste toujours le classique d’une moderne mathématique; il est irrésistiblement renvoyé à l’histoire et « vite » est un mauvais mot car, à mesure des découvertes, la puissance des méthodes se renforce de telle sorte qu’il faudrait plutôt parler d’une accélération du devenir). Le long de l’évolution épistémologique, évanouissement progressif de sa problématique originelle, importation progressive de celle-ci vers l’art et la technique purs; et, par là, décélération de son dynamisme d’invention, rétrécissement de son champ d’analyse, au regard de ses anciennes méthodes et de ses projets de naguère. D’où un croisement curieux entre les vérités scientifiques et les vérités épistémologiques: pendant que les premières évoluent, s’étendent et se renforcent, selon ce drame jamais achevé des rigueurs, elles condamnent, absorbent ou rendent vaines les intentions réflexives qui les précèdent d’un rythme. Il est alors instructif de voir combien la conscience savante finit par rester bonne devant la transformation de ces vérités, qu’un vain peuple croît toujours arrêtées et définitives, alors que la conscience philosophique ne peut le demeurer, à savoir qu’il y avait du faux endémique dans un point de vue réflexif sur du vrai en devenir. Cela qu’amener à réfléchir, par un nouveau tour, sur le type de vérité qu’exhibe en général la réflexion épistémologique elle-même; et donc à redoubler la question de la possibilité d’une épistémologie moderne.

I. – L’optique « récurrente » Impose donc, le long de ces extrapolations nécessaires, un jegement selon la sésuétude et l’actualité, et, à la limite, selon le faux et le vrai. Mais à considérer l’état de la science faite, et non en train de se faire, à tel moment défini antérieur aux analyses de Le Roy, c’est-à-dire à se placer au point de vue synchronique, on est obligé de souligner la netteté parfaite de la description technique. Jusqu’à la lenteur, la recherche est patiente, la précision fine jusqu’au pointillisme, les exemples savants dominés dans une langue pure et sûre. Nous pouvions parler du meilleur des cas: ici est le monument de l’épistémologie traditionnelle, pour des raisons déjà invoquées, mais aussi comme forme achevé en qualité. Les mathématiques classiques trouvent là leur excellent – et leur dernier – philosophe.

Mais que sont ces dernières pour l’essentiel? L’essentiel, c’est-à-dire ce qu’elles ont de pur, ne supposant que « la conscience de l’esprit en tant qu’opérateur ». (Désignons, en passant, cette définition de la pureté en référence au sujet pensant, éminemment caractéristique.) Ces mathématiques pures sont définies comme analyse, à l’exclusioon de la mécanique, qui est d’expérience, de la géométrie qui est d’intuition quasi-perceptive, etc. Cette analyse, noyau de la science, est, en gros, celle de la fin du XIX° siècle: née avec Leibnitz, développée par Euler, couronnée par Riemann, pour ne citer que ses grands patronymes. Elle comprend, aux dires de Le Roy, l’arithmétique, l’algèbre (au sens classique), le calcul infinitésimal et la théorie des fonctions. Voici pour le contenu du domaine. Pour sa définition? Il faut découvrir la notion caractéristique, inanalysable, indéfinissable, invariante, première, qui donne à ce domaine son originalité propre et qui le constitue en système. Cette notion est la grandeur, mieux, la mesure, mieux encore, le nombre; et l’analyse est science du nombre, l’arithmétique dominant sans conteste les autres disciplines et imposant cohésion à l’édifice. ( … )

On voudra bien pardonner ces banalités: mais il fallait au moins esquisser le schéma de la mathématique classique de base: qu’il soit dans l’esprit de chacun montre simplement ce que chacun doit désormais oublier, et la jeunesse qu’il doit perdre. De plus il forme l’infrastructure globale des analyses du livre. Ceci posé l’auteur poursuit ce plan dont l’importance historique n’est pas négligeable; en effet il fait le dernier point à la veille de la reconstruction « moderne », la dernière coupe synchronique sur les mathématiques classiques. Et cette coupe est telle qu’à travers les trois branches de cette analyse (théorie des fonctions, analyse de l’ordre, analyse du continu), et le long de leurs résultats principaux, il est possible de lire ce à partir de quoi les modernes vont reconstituer l’édifice total: « Il faut classer; divers cas d’objets; divers cas de correspondances. Notion générale de correspondance fonctionnelle, à quoi on peut tout ramener. Théorie des relations. Corps opérayoires: clôture. Classification des groupes. Invariant. Ce qui est essentiel ne dépend que de la structure ou de la loi de composition du groupe. Isomorphisme, etc. » Le texte ajoute: « Il y a un point de vue pour concevoir et organiser toute la science. » Tout se passe donc comme si une description d’ensemble mettait en évidence, en fin de compte, un certai domaine qui, de terminal et singulier devenait universel et principiel; ceci est, il faut le dire, une sorte de constante dans l’histoire des mathématiques. (… ) On croirait d’abord que, parti d’un élément dont on a assez dit qu’il était premier, ce plan distribuerait des domaines homogènes, et constamment férérés à cette priorité; or, il n’en est pas ainsi, et la distribution parvient, au voisinage de son terme, à des éléments premiers à leurs à leur tour. Alors, il faut recommencer, retourner comme un gant le plan proposé, extrapoler, pour comprendre, le long de la diachronie. Ici réside la fin d’une histoire qui porte toutes les conditions de son recommencement.

Tout ceci signifie, en particulier, que le progrès mathématique ne se constitue pas seulement par l’accumulation des découvertes et l’amplification des théories; ni par la déduction pure et simple le long d’un ou plusieurs troncs hypothético-déductifs. Mais aussi, mais surtout, par bonds de restructuration générale de la théorie elle-même: l’approfondissement, à un moment donné, de tel domaine, peut déboucher sur la mise en évidence de prioriés nouvelles, qui se trouivent avoir vocation de classification et de systématisation. Pour risquer un mot, on aimerait dire que la mathématique va vers ses propres priorités, autant qu’elle en vient. Et ceci n’est pas si paradoxal qu’il ne paraît puisque le développement laisse le plus souvent stable le système comme tel, puisqu’il y a à la fois développement et architecture. A s’arranger constamment entre histoire et système, entre genèse et normes, il ne peut être possible de penser le développement qu’en terme de reconstruction continuée. Et c’est ainsi que les vérités synchroniques s’enlacent en un réseau serré aux vérités diachroniques: qu’à un moment donné telle est la priorité, qui désigne, pour demain, une priorité qui la fonde. ( … )

De là, les hésitations du philosophe méditant en pleine révolution. Refuser d’abandonner une priorité aussi sûre qu’ancienne alors qu’on devine les nouvelles, demeurer attaché aux éponymes banaux à l’heure où balance la victoire, n’est-ce pas refuser d’aller vers la source sous pretexte qu’on en vient? C’est ne pas voir le mouvement compliqué de la science selon l’ouverture et la fermeture, le système et le mouvement. Conservatisme ou dogmatisme, comme on voudra, ne s’expliquent jamais que par la vision tronquée d’un état de fait, ou plus générale, ou plus complexe: par l’oubli de l’extrapolation. ( … )

Tout ceci est fort significatif de ce que peuvent être, en mathématiques, progrès et découvertes, développement historique, lois diachroniques. Et il faut saisir ce qui est dit ici du nombre, ce qui est dit ici des anciens et des modernes, à nouveau, comme cas particulier d’une constante originale du progrès mathématique. Pour s’en persuader il suffit de choisir un problème quelconque, tout à fait étranger à nos actuelles préocupations, et d’en suivre l’histoire. Au hasard, prenons un problème classique de géométrie tel qu’il se trouve dans Pappus. Chasles en donne l’historique dans son aperçu (328-329). Qu’indique ce développement? Très exactement, une généralisation continuée de ses conditions initiales et de ses solutions; mais cette extension, ici comme tout à l’heure, est un approfondissement; si bien qu’une fois découverte la solution la plus générale, il se trouve qu’est mis en relief le meilleur approfondissement des conditions initiales elles-mêmes. La fuite vers le général est mouvement vers la vérité du principe: alors l’histoire se retourne et la fin devient origine, la fin historique devient origine essentielle. Le couronnement donné à ce problème de Pappus par Pncelet est à la fois terminaison et commencement; par épuisement en extension d’une question, on découvre les conditions d’une nouvelle géométrie. Le génie des mathématiciens est de généralisation, c’est le génie du mouvement vers la vérité de l’origine de leur science. Généraliser c’est rendre raison. ( … )

II. – ( … ) Au regard de ce type de généralité « objectif » et « extensif », la mathématique nouvelle transforme radicalement son point de vue. Il y avait mouvement longitudinal, conquête de domaines marginaux occupés par des objets déterminés comme tels. Le type de généralité visé par les modernes est tout différent: il est obtenu en adoptant un point de vue transversal et régressif, en éliminant les déterminations objectives, en se donnant des domaines qui ne sont plus caractérisés par leurs éléments objectifs mais par des lois propres.

( … ) Comme dirait Leibnitz, qui peut passer comme le plus lointain annonciateur de cette méthode, , « il n’est plus besoin de rouler mille fois la même pierre »: en analysant avec attention ma manière de la rouler, je puis savoir d’un coup tout ce qui m’intéresse, sans considérer cette pierre elle-même. Et le mathématicien moderne donne au classique la conscience de Sysiphe; au lieu d’itérer des théories particulières, on exprime des théories multivalentes. On se donne alors un champ quelconque que l’on détermine à loisir en variant les conditions de manipulation. ( … ) On pourrait développer cela plus encore; mais, outre que ces constatations sont désormais triviales, nous avons dit qu’un autre raisonnement retient, pour le moment, notre attention: et il est plus propre à intéresser le philosophe.

Face à son antécédent classique, la mathématique moderne a ceci de singulier et de caractéristique: son intention profonde est de se prendre elle-même comme objet; et, en particulier, comme objet de son propre discours. Si donc l’épistémologie traditionnelle se définit comme discours sur la science, il devient vite évident que la mathématique moderne se constitue comme épistémologie de ses propres démarches. Elle est ce discours même, et ce discours rigoureux. Par rapport à la science qui la précède, elle acquiert une dimension nouvelle, qu’on ne peut préciser autrement que par la conquète techniqu, analytique et linguistique du champ de problèmes propres à lancienne philosophie des mathématiques: elle peut enfin poser et, parfois, résoudre résoudre dans son domaine autochtone, les questions confiées à un domaine extérieur. C’est pourquoi on ne peut plus parler d’elle que fort mal: elle parle d’elle même enfin avecle maximum de véracité et de rigueur.A suivre nombre de ses développement cette conclusion ne tarde pas à s’imposer avec toute la force d’une évidence. La voici qui manipule un ensemble d’êtres et, en même temps, elle manipule l’ensemble des manières de les manipuler ou, si l’on veut, des méthodes de manipulation. Lorsqu’une mathode devient l’objet même du savoir, que peut-on dire de ce savoir sinon qu’il développe sa propre méthodologie. Or il en est bien ainsi de la mathématique de notre temps, qui est mille fois plus mathématique de la manière que mathématique de la chose, ou pour qui la manière devient chose et objet de pensée. L’ancienne progreesion progression effective s’accompagne désormais d’un doublage « réflexif » qui décrit, se règle et se norme en s’accomplissant., et ce doublage est la progression même de ce nouveau savoir. La reduplication est ici de rigueur: la topologie a pour objet les notions de limite, de continuité, de voisinage, certes; elle a aussi pour objet les diverses topoogies classées selon leur « finesse », les transformations topologiques et ainsi de suite. Comme nous l’avions observer, elle se décline toujurs au génitif: elle se constitue sans cesse comme mathématique d’elle-même. Ceci est vrai aussi souvent qu’on voudra: la logique moderne, par exemple, qui appartient désormais au monde mathématique, tente d’une part d’être description, réflexion, doublage, régulation, fondement de cette mathématiqque, mais elle est aussi tout cela pour elle-même: elle se surveille, se règle, se réfléchit. De même l’algèbre, qui est régulation et norme des niveaux naïfs qu’elle exprime, mais aussi régulation de soi. Cette thématisation continuée, transversalle à son propre mouvement, exprimant les constantes de toutes les progressions naïves et faisant progression de cette expression, est si importante que l’on pressent peu à peu sa présence dans l’ensemble de l’édifice. On pourrait traduire ce mouvement dans les termes suivants: la mathématique essaie de découvrir le plus de points de vue possibles à partir desquels il lui est possible de parler d’elle-même. Par conséquent, pour filer notre analyse, il y a constitution d’une épistémologie d’abord positive, puis rigoureuse, enfin généralisée. Revenons par exemple à notre comparaison initiale; généraliser la notion de nombre, pour les classiques, revenait à élargir une notion pour la rendre maniable selon certaines opérations. La généralisation moderne consiste à jouer sur l’opération en général, et cette variation décrit des champs d’objets quelconques. D’une part il y a généralisation d’un objet, d’autre part il y a généralisation « méthodologique ». Ici, nous découvrons le complément de ce résultat qui porte que l’ensemble de ces mathématiques est une méthodologie généralisée. Fidèle à son esprit de toujours, la mathématique, dès qu’elle a importé le champ des anciennes questions épistémologiques, l’a annalysé, l’a normé, l’a rendu rigoureux, a fait varier à l’infini sa constitution interne. Elle a manipulé ces questions avec toutes les libertés de sa rigueur.

Cette duplication continuée sur soi-même, qui prive le philosophe de l’originalité de sa position, est cependant hautement instructive pour lui. En effet, l’important ici est l’itération de ce retournement: ce qui fait prliférer les niveaux d’abstraction et de naïveté. Elle analyse et relativise ces deux notions qui paraissaient stables naguère: tel niveau est abstrait par rapport à tel autre, concret à l’égard du suivant dans l’ordre de la réflexion. D’où la multiplicité des manières de discourir sur soi., de se prendre soi-même comme objet On effeuille ces niveaux de telle façon qu’on peut dire parfois, soit qu’on expérimente sur un paradigme, sur un exemple ou un contre-exemple, soit qu’on réfléchit sur une structure abstraite. Il y a formation de deux notions nouvelles, celle d’expérience mathématique et de réflexion mathématique, toutes deux aussi relative que les deux premières. ( … )

De tradition et de vocationx, l’épistémologie est le lieu où se débat, de la manière la plus particulière et précisée, le problème philosophique de la vérité; le lieu où ce problème est projeté, circonscrit, déterminé, effectué. C’est le support où toute théorie de la connaissance, quelle qu’elle soit, est obligé d’aller prendre ses valeur.

Or, il se trouve qu’en l’état actuel des choses il est presque impossible de définir le type de vérité qu’elle promeut. Ni son type lijguistique de vérité (cohérence de sa syntaxe ou contenu significatif de sa sémantique), ni le type de sa propre rigueur (normative ou de fondement). Certes elle a abandonné (et sans doute à jamais) l’intention normative et critique qu’elle assumait traditionnellement par rapport à la science. Il ne lui reste plus que l’intention et la vocation descriptive. Alors il est d’essence que la philosophie des sciences devienne philosophie de l’histoire des sciences, ou histoire des sciences, ou encore histoire de la philosophie des sciences. Il est d’essence qu’elle verse à l’historicisme: soit dans le sens usuel, soit dans le sens d’histoire naturelle, c’est à dire qu’elle devienne une description diachronique ou une description synchronique. De plus, cette description peut être psychologique, génétique en tous les sens que l’on voudra, vulgarisatrice à la limite, classificatrice encore. On voit assez tout ceci depuis Comte au moins en France: tout épistémologue, quel qu’il soit, est désormais historien ou naturaliste, dans tous les sens imaginables.

La tradition assurait que tout cela constituait un discours sur la science. Mais a-t-elle jamais songé à la grammaire, à la morphologie, à la syntaxe, à la sémantique de ce discours? N’y a-t-il pas de l’outrecuidance à s’arroger le droit de discourir sur un langage rigoureux sans régler au préalable le langage de ce discours? ( … )

La crise dénouée ou, plutôt, pour dénouer la crise, viennent au jour des techniques nouvelles, au moment même où le tableau ci-dessus peut frapper par sa perfection. Leur dessein global est de fermer la mathématique de manière autonome, de discourir sur elle à partir d’elle même, en une langue fort voisine de la sienne. D’où vient qu’elle paraisse devoir absorber le contenu de l’épistémologie extérieur et, plus encore, son intention et son attitude, en ne variant que sur sa situation, en se définissant comme épistémologie intérieure. Cette situation permet aux logiques modernes de faire l’économie de la langue philosophique et de la langue vulgaire (c’est-à-dire vulgarisante), de n’avoir pas à réduire l’ancien décalage linguistique: et comme elle se développent dans un langage qui est naturel aux problèmes évoqués, elle font assez aisément la théorie de ce langage, chose malaisée pour le discours artificiel de l’épistémologie extérieur. Le livre de Le Roy marque le temps de la rencontre et les épisodes de la lutte entre ces deux types de réflexion, intentionnelle et technicisée, le moment du passage d’une situation à l’autre. Finalement ce qui est en jeu est le génitif de la définition: la science de la science est-elle partie de la science ou hors d’elle? ( … )

D’où vient notre débat sur le génitif: ici, la scienc de la science est une duplication de celle-ci sur elle-même, une qusi-réflexion, et non la séparation d’un discours et de son objet. Il n’y a plus de sol extérieur aux mathemata, ils prennent appui sur le tracé de leur mouvement propre. Ou, si l’on veut, il n’y a plus pensée de survol, la pensée prend appuie sur son propre vol. La science de la science n’est plus cette référence extérieure universelle, ce pôle où converge le réseau de toutes les longitudes, elle est assomption intérieure er réflexion régionale. Ce n’est pas la première fois, que je sache, que la méditation contemporaine rencontre cette idée de référence autonome et autochtone, de reflux de la description d’un mouvement vers ce mouvement même. Et plus je suis voisin de l’objet décrit et emporté avec lui dans le même procès, plus mon discours est homogène à sa forme et fidèle à son essence, mais aussi plus je le transforme et le promeut dans le développement même de mon discours: à la limite l’autodescription de la langue mathématique par elle-même, est réactivation, restructuration, promotion. Elle est la mathématique et ceci, non pas dans le champ de l’évidence, mais dans celui de la pensée aveugle et formelle. Et pour en revenir au mouvement, il est bien clair que cette duplication réactivante est l’une de ses sources. Il a été dit que l’origine des mathématiques résidait en leur finn, peut-être pourrait-on avancer qu’elle réside – en tant qu’origine dynamique, non pas visée ultime mais moteur – en tout moment, en chaque instant du mouvement vers cette fin. Il y a donc, dans la région mathématique, une science d’elle même qui est heuristique en restant descriptive. ( … )

III. – ( … ) On ne peut donc poser le problème de l’épistémologie moderne que par référence à la double diachronie des problèmes et des réflexions. Notre temps est (ou a été tout récemment) un moment de reconstruction systématique; celle-ci n’a été possible que par une réflexion de la mathématique sur elle-même, sa méthode, ses objets, ses conditions, bref par une intersection des deux diachronies. C’est ce que nous avons appelé la formation progressive d’une épistémologie positive à l’intérieur de la science même. Ceci dit, il est impossible de prévoir les chemins de demain: ou les routes hasardeuses que Gallois déplorait, en plein XIX°siècle, ou le renforcement de la systématicité, de la réflexion; ce qui signifie, pour nous autres philosophes, systole ou diastole de cette épistémologie positive. Si bien que l’imprévisibilité des découvertes et des restructurations le long de l’une des diachronies nous interdit d’extrapoler sur la seconde.

De toute façon, voici généralisé notre problème comme loi historique: à tous les moments de grande reconstruction systématique, les mathématiciens deviennent les épistémologues de leur propre savoir. Cette transformation est une mutation qui s’effectue de l’intérieur. Tout se passe comme si, au moment de se promouvoir en un nouveau système, la mathématique avait soudain besoin d’importer la totalité des questions épistémologiques. Ainsi, le long d’un devenir toujours inattendu, se placent des nœuds synchroniques réflexifs et régulateurs. ( … )

Et de nouveau, qu’est-ce qu’une science parvenue à maturité? Une science qui comporte l’auto-régulation de sa propre région et, partant, son épistémologie autochtone, sa théorie sur elle-même, exprimée en son langage, selon la description, le fondement et la norme.

Retenons, en particulier, la dernière spécification: cette région du savoir est donc auto-normée. Ceci signifie qu’elle ne reçoit pas de l’extérieur les requisits généraux du jugement sur le faux et le vrai: elle est, de manière indépendante, index veri et falsi. On objectera: n’en a-t-il pas toujours été ainsi en mathématique? Non. Leur langage n’a pas toujours été à hauteur normative des objets et des théories découvertes. Leur histoire n’est pas exempte de productions tératologiques non dominées; les mathématiques ont enfanté des monstres inévitables qu’elle ne comprenait plus, qui se situaient en un lieu que leurs concepts normatifs ne pouvaien atteindre: cela est vrai ds irrationnels, des imaginaires, du calcul infinitésimal, etc., au moment de leur découverte respective. On dit assez que ces « mutants » ont, chaque fois, donné une impulsion nouvelle à la science, et partant, à la philosophie. Mais on ne dit peut-être pas que si la philosophie s’en émeut, c’est sans doute en raison de l’inaptitude temporaire du langage scientifique à les situer normativement: d’où la référence à une raison extérieure au champ technique pur dont, à tort ou à raison, on pense qu’elle est à hauteur de décider de cette situation. Supposons alors que la mathématique ait intériorisé cette référence, qu’elle ait importé l’intention philosophique pour ce qui concerne ses normes propres: alors, elle est à hauteur de dominer rationnellemnt ses structures et même sa tératologie éventuelle; elle devient pour elle-même l’index de sa vérité, elle sait peser sa puissance propre de démonstration, elle sait au moins dessiner les difficulté propres à sa puissance de décision, elle tente d’en poser les bornes et les limites. Sans entrer dans des problèmes dont on devine ici le contenu, il reste que tous ces problèmes sont désormais posés intérieurement à l’activité technique pure. De sorte qu’en un sens il n’est plus possible de se tromper, d’émettre des notions dont, au moins, on ne sache poser le statut normatif (avec cette restriction qu’on aura la plus claire conscience des difficultés, voire des paradoxes de cette « pesée »). Dès cette science se veut la plus réfléchissante possible du vrai de sa région, la plus révélatrice de sa vérité (révélateur étant pris au sens de la chimie, au sens où Leibnitz demandait une pierre d’essai). A mesure qu’elle se ferme sur soi, la mathématique devient la région de la véridicité automatique. Cette définition doit être comprise en donnant au terme « automatique » le sens profond d’exécution indépendante de tout ce qui n’est pas la région de cette exécution. ( … )

Et, de là, la mathématique est devenu ce langage qui parle sans bouche, cette pensée aveugle qui voit sans regard, cette pensée active qui pense sans sujet du cogito, cette oeuvre de l’homme entrée dans une nouvelle Genèse, oeuvre qui va proliférant alors que le Philosophe-Dieu, voyant que cette oeuvre est bonne, ne peut que s’en retirer et accepter qu’elle ait un efficace propre. ( … )